Bài 1 Trang 156 Sgk Toán 11

     

Hướng dẫn giải bài bác §1. Định nghĩa và chân thành và ý nghĩa của đạo hàm, Chương V. Đạo hàm, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài xích giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số với Giải tích 11 bao hàm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài bác tập đại số với giải tích tất cả trong SGK để giúp đỡ các em học sinh học xuất sắc môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 156 sgk toán 11

Lý thuyết

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng ((a;b)), (x_0in (a;b)). Số lượng giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số (fracf(x)-f(x_0)x-x_0) khi (x → x_0) được điện thoại tư vấn là đạo hàm của hàm số đã cho tại (x_0), kí hiệu là (f"( x_0)) xuất xắc (y"( x_0)). Như vậy:

(f"( x_0) = lim_x ightarrow x_0) ( fracf(x)-f(x_0)x-x_0).

Nếu đặt (x – x_0= ∆x) với (∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0)) thì ta có

(f"(x_0) = lim_Delta x ightarrow 0) ( fracDelta yDelta x)

Đại lượng (∆x) được điện thoại tư vấn là số gia của đối số trên (x_0) với đại lượng (∆y) được gọi là số gia tương xứng của hàm số.

2. Nguyên tắc tính đạo hàm bởi định nghĩa

– bước 1. cùng với (∆x) là số gia của số đối trên (x_0) ,tính (∆y = f(x_0+∆x)- f(x_0));

– cách 2. Lập tỉ số ( fracDelta yDelta x);

– bước 3. Tính ( lim_Delta x ightarrow 0) ( fracDelta yDelta x).

Nhận xét: nếu cầm (x_0) vày (x) ta gồm định nghĩa với quy tắc tính đạo hàm của hàm số (y = f(x)) trên điểm (x ∈ (a;b)).

3. Quan hệ giới tính giữa tính tiếp tục và sự mãi mãi đạo hàm

Định lí: Nếu hàm số (y = f(x)) gồm đạo hàm tại (x_0) thì nó thường xuyên tại (x_0).

Chú ý:

Định lí trên tương tự với xác định : trường hợp (y = f(x)) cách biệt tại (x_0) thì nó không có đạo hàm trên điểm đó.

Mệnh đề đảo của định lí ko đúng. Một hàm số liên tiếp tại một điểm rất có thể không bao gồm đạo hàm trên điểm đó.

4. Ý nghĩa hình học tập của đạo hàm

Nếu tồn tại, (f"(x_0)) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ gia dụng thị hàm số (y = f(x)) tại điểm (M_0(x_0;f(x_0))). Khi ấy phương trình tiếp con đường của thiết bị thị trên điểm (M_0(x_0;f(x_0))) là:

( y – f(x_0) = f"(x_0)(x-x_0))

Các bước viết phương trình tiếp con đường của trang bị thị (C) tại điểm (M_0(x_0;y_0) in (C):)

Bước 1: Tính (f"(x_0) = mathop lim limits_ x o x_0 fracf(x) – f(x_0)x – x_0= mathop lim limits_Delta x o 0 fracf(x_0 + Delta x) – f(x_0)x – x_0 = mathop lim limits_Delta x o 0 fracDelta yDelta x.)

– bước 2: Hệ số góc của tiếp đường với vật thị (C) trên (M_0) là (k=f"(x_0))

– bước 3: Phương trình tiếp tuyến đường với vật thị (C) tại điểm (M_0(x_0;y_0) in (C)) là: (y = f"(x_0).(x – x_0) + y_0)

Các bước viết phương trình tiếp con đường của vật dụng thị (C) hàm số y=f(x) lúc biết hệ số k:

– bước 1: call (M_0(x_0;y_0) in (C)) là tiếp điểm của tiếp tuyến đường với đồ dùng thị (C).

– bước 2: Tính (f"(x_0) = mathop lim limits_ x o x_0 fracf(x) – f(x_0)x – x_0= mathop lim limits_Delta x o 0 fracf(x_0 + Delta x) – f(x_0)x – x_0 = mathop lim limits_Delta x o 0 fracDelta yDelta x.)

– cách 3: Giải phương trình (k=f"(x_0)) tìm kiếm (x_0), rồi tìm kiếm (y_0=f(x_0).)

– bước 4: Phương trình tiếp tuyến đường của vật thị (C) với thông số góc k là: (y = k(x – x_0) + y_0.)

5. Ý nghĩa thiết bị lí của đạo hàm

Vận tốc liền của hoạt động thẳng xác minh bởi phương trình: (s=s(t)) tại thời điểm (t_0) là (v(t_0)=s"(t_0).)

Cường độ ngay tức khắc của điện lượng (Q=Q(t)) tại thời điểm (t_0) là: (I(t_0)=Q"(t_0).)

Dưới đây là phần phía dẫn vấn đáp các câu hỏi và bài bác tập vào phần hoạt động vui chơi của học sinh sgk Đại số với Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 146 sgk Đại số và Giải tích 11

Một đoàn tàu vận động khởi hành từ 1 nhà ga. Quãng đường $s$ (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian $t$ (phút). Ở hầu như phút đầu tiên, hàm số chính là $s = t^2$.

Hãy tính vận tốc trung bình của hoạt động trong khoảng tầm với to lớn $= 3$ cùng $t = 2; t = 2,5; t = 2,9; t = 2,99.$

Nêu nhấn xét về những hiệu quả thu được lúc $t$ càng gần to $= 3$.

Trả lời:

Vận tốc của đoàn tàu là:

(v = s over t = t^2 over t = t)

Vận tốc trung bình của hoạt động trong khoảng chừng với:

(eqalign& t_0 = 3;,t = 2:,,3 + 2 over 2 = 2,5 cr& t_0 = 3;,t = 2,5:,3 + 2,5 over 2 = 2,75 cr& t_0 = 3;,t = 2,9:,,3 + 2,9 over 2 = 2,95 cr& t_0 = 3;,t = 2,99:,3 + 2,99 over 2 = 2,995 cr )

⇒ $t$ càng ngay sát to $= 3$ thì vận tốc trung bình của vận động trong khoảng càng ngay sát $3$.

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 149 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàm số $y = x^2$. Hãy tính $y"(x_0)$ bởi định nghĩa.

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& y"(x_0) = mathop lim limits_x o x_0 x^2 – x_0^2 over x – x_0 = mathop lim limits_x o x_0 (x – x_0)(x + x_0) over x – x_0 cr& = mathop lim limits_x o x_0 (x + x_0) = 2x_0 cr )

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 150 sgk Đại số và Giải tích 11

a) Vẽ đồ gia dụng thị của hàm số $f(x) = x^2 over 2$

b) Tính $f’(1)$.

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm $M(1; 1 over 2)$ cùng có thông số góc bằng $f’(1)$. Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đang cho.

Trả lời:

a) Vẽ đồ gia dụng thị của hàm số $f(x) = x^2 over 2$

*

b) đưa sử $Δx$ là số gia của đối số trên xo $= 1$. Ta có:

(eqalign& Delta y = f(1 + Delta x) – f(1) = (1 + Delta x)^2 over 2 – 1^2 over 2 = (Delta x)^2 + 2Delta x over 2 cr& Rightarrow Delta y over Delta x = (Delta x)^2 + 2Delta x over 2:Delta x = Delta x over 2 + 1 cr& Rightarrow f"(1) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta x over 2 + 1 = 0 + 1 = 1 cr )

c) Đường thẳng có thông số góc bằng $f"(1) = 1$ bao gồm dạng:

$y = 1.x + a$ xuất xắc $y = x + a$

Mà con đường thẳng đó đi qua điểm $M(1; 1 over 2)$ bắt buộc có:

(1 over 2) = 1 + a ⇒ a = (1 over 2) – 1 = -(1 over 2)

⇒ con đường thẳng trải qua $M$ cùng có thông số góc bởi $1$ là:

$y = x – 1 over 2$

Ta tất cả đồ thị như trên. Đường trực tiếp $y = x – 1 over 2$ tiếp xúc với trang bị thị hàm số $f(x)$ tại $M$.

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 152 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Viết phương trình con đường thẳng trải qua Mo(xo; yo) và có thông số góc $k$.

Trả lời:

Đường thẳng trải qua điểm Mo(xo; yo) và có thông số góc $k$ có phương trình:

$y = k(x – x_0) + y_0$ tuyệt $y = kx + (–kx_0 + y_0)$

5. Trả lời câu hỏi 5 trang 152 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hàm số $y = -x^2 + 3x – 2$. Tính $y’(2)$ bằng định nghĩa.

Trả lời:

Giả sử $Δx$ là số gia của đối số trên $x_0 = 2$. Ta có:

$Δy = y(2 + Δx) – y(2)$

$= -(2 + Δx)^2+ 3(2 + Δx) – 2 – (-2^2 + 3.2 – 2)$

$= -(4 + 4Δx + (Δx)^2)+ 6 + 3Δx – 2 = – (Δx)^2 – Δx$

(eqalign& Rightarrow Delta y over Delta x = – (Delta x)^2 – Delta x over Delta x = – Delta x – 1 cr& Rightarrow y"(2) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 ( – Delta x – 1) = – 1 cr )

6. Trả lời thắc mắc 6 trang 153 sgk Đại số với Giải tích 11

Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:

a) $f(x) = x^2$ tại điểm $x$ bất kì;

b) $g(x) = 1 over x$ trên điểm bất cứ $x ≠ 0$.

Trả lời:

a) mang sử $Δx$ là số gia của đối số tại $x_0$ bất kỳ. Ta có:

(eqalign& Delta y = f(x_0 + Delta x) – f(x_0) cr& = (x_0 + Delta x)^2 – x_0^2 = 2x_0Delta x + (Delta x)^2 cr& Rightarrow Delta y over Delta x = 2x_0Delta x + (Delta x)^2 over Delta x = 2x_0 + Delta x cr& Rightarrow y"(x_0) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 (2x_0 + Delta x) = 2x_0 cr )

b) đưa sử $Δx$ là số gia của đối số trên $x_0$ bất kỳ. Ta có:

(eqalign& Delta y = g(x_0 + Delta x) – g(x_0) cr& = 1 over x_0 + Delta x – 1 over x_0^2 = – Delta x over x_0(x_0 + Delta x) cr& Rightarrow Delta y over Delta x = – Delta x over x_0(x_0 + Delta x):Delta x = – 1 over x_0(x_0 + Delta x) cr& y"(x_0) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 ( – 1 over x_0(x_0 + Delta x)) = – 1 over x_0^2 cr )

Dưới đấy là phần gợi ý giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy gọi kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

bibun.vn trình làng với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số cùng giải tích 11 kèm bài xích giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số và Giải tích 11 của bài §1. Định nghĩa và chân thành và ý nghĩa của đạo hàm vào Chương V. Đạo hàm cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài bác tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài bác 1 trang 156 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tìm số gia của hàm số (f(x) = x^3), hiểu được :

a) (x_0 = 1; ∆x = 1);

b) (x_0= 1; ∆x = -0,1).

Bài giải:

a) (∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0) = f(1+1)-f(1))

(=f(2) – f(1) = 2^3-1^3= 7).

b) (∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0) = f(1-0,1)-f(1)=f(0,9) – f(1))

(= left ( frac910 ight )^3 – 1^3= frac7291000 – 1 = -frac2711000=-0,271).

2. Giải bài xích 2 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính (∆y) với (Delta y over Delta x) của các hàm số sau theo (x) cùng (∆x) :

a) (y = 2x – 5); b) (y = x^2- 1);

c) (y = 2x^3); d) (y = 1 over x).

Bài giải:

a) $∆y = f(x+∆x) – f(x) $=$ 2(x+∆x) – 5 – (2x – 5)$

$= 2x+2∆x-5-2x+5=2∆x$

(Delta y over Delta x = 2Delta x over Delta x = 2).

b) (Delta y = f(Delta x + x) – f(x))

(= (x + Delta x)^2 – 1 – (x^2 – 1))

(=x^2+2x.∆x+(∆x)^2-1-x^2+1)

(= 2x.Delta x + (Delta x)^2)

(= Delta x(2x + Delta x))

(Delta y over Delta x = Delta xleft( 2x + Delta x ight) over Delta x = 2x+Delta x)

c) (∆y = f(x+∆x) – f(x) = 2(x + ∆x)^3- 2x^3)

(=2left < x^3+3x^2.∆x+3.x(∆x)^2+(∆x)^3 ight >-2x^3)

(= 2x^3+6x^2.∆x+6.x(∆x)^2+2(∆x)^3 -2x^3)

(=6x^2Delta x + 6x(Delta x)^2 + 2(Delta x)^3)

(= 2Delta x.left < 3x^2 + 3xDelta x + (Delta x)^2 ight >)

(fracDelta yDelta x = frac2Delta xleft < 3x^2+3xDelta x+(Delta x)^2 ight >Delta x= 6x^2+ 6x∆x + 2(∆x)^2)

d) (∆y = f(x+∆x) – f(x) =-1 over x + 1 over x +Delta x = -x – Delta x + x over xleft( x + Delta x ight) = – Delta x over xleft( x + Delta x ight))

(Delta y over Delta x = frac- Delta x over xleft( x + Delta x ight)Delta x=-1 over left( x + Delta x ight)x)

3. Giải bài bác 3 trang 156 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại những điểm đã chỉ ra:

a) (y = x^2+ x) tại (x_0= 1);

b) (y = frac1x) tại (x_0= 2);

c) (y = fracx+1x-1) tại (x_0 = 0).

Bài giải:

a) mang sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0 = 1).

Ta có: $∆y = f(1 + ∆x) – f(1) $

$= (1 + ∆x)^2+ (1 + ∆x) – (1^2+ 1)= 3∆x + (∆x)^2$

(fracDelta yDelta x = frac3∆x + (∆x)^2∆x=3 + ∆x)

(mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 (3 + Delta x) = 3)

Vậy (f"(1) = 3).

Xem thêm: Còn Bao Nhiêu Ngày Nữa Tới Giáng Sinh ? Mấy Ngày Nữa Tới Giáng Sinh

b) trả sử (∆x) là số gia của số đối trên (x_0= 2)

Ta có: (∆y = f(2 + ∆x) – f(2))

(= frac12+Delta x – frac12 =frac2-2-Delta x2(2+Delta x)= – fracDelta x2left ( 2+Delta x ight ));

( fracDelta yDelta x = frac- fracDelta x2left ( 2+Delta x ight )Delta x=- frac12left ( 2+Delta x ight ))

(mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 left( – 1 over 2.(2 + Delta x) ight) = – 1 over 4)

Vậy (f"(2) = – frac14).

c) trả sử (∆x) là số gia của số đối trên (x_0= 0).

Ta có: (∆y = f(∆x) – f(0) = fracDelta x+1Delta x-1- ( -1) =frac∆x+1+∆x-1∆x-1= frac2Delta xDelta x-1);

( fracDelta yDelta x=fracfrac2Delta xDelta x-1∆x=frac2Delta x-1)

( mathop limlimits_Delta x ightarrow 0) ( fracDelta yDelta x) = ( mathop limlimits_Delta x ightarrow 0) ( frac2Delta x-1 = -2).

Vậy (f"(0) = -2).

4. Giải bài xích 4 trang 156 sgk Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng hàm số

(f(x) = left{ matrix{(x – 1)^2 ext giả dụ x ge 0 hfill cr– x^2 ext giả dụ x

5. Giải bài xích 5 trang 156 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Viết phương trình tiếp con đường của con đường cong (y = x^3):

a) tại điểm có tọa độ ((-1;-1));

b) tại điểm bao gồm hoành độ bằng (2);

c) Biết thông số góc của tiếp tuyến bởi (3)

Bài giải:

Bằng có mang ta tính được (y’ = 3x^2).

a) trên điểm gồm tọa độ ((-1;-1))

(y’ (-1) = 3).

Vậy thông số góc của tiếp tuyến bằng (3).

Vậy phương trình tiếp đường tại điểm ((-1;-1)) là

(y – (-1) = 3) tốt (y = 3x+2).

b) tại điểm tất cả hoành độ bởi (2)

(y’ (2) = 12).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bằng (12)

Ta lại sở hữu (y(2) = 8).

Vậy phương trình tiếp tuyến đường tại điểm có hoành độ bằng (2) là: ( y – 8 = 12(x – 2)) hay (y = 12x -16).

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng (3)

Gọi (x_0) là hoành độ tiếp điểm. Ta có:

(y’ (x_0) = 3 Leftrightarrow 3x_0^2= 3Leftrightarrow x_0^2= 1Leftrightarrow x_0= ±1).

Với (x_0= 1) ta tất cả (y(1) = 1), phương trình tiếp tuyến là ( y – 1 = 3(x – 1)) xuất xắc (y = 3x – 2).

Với (x_0= -1) ta có (y(-1) = -1), phương trình tiếp đường là (y – (-1) = 3) xuất xắc (y = 3x + 2).

6. Giải bài bác 6 trang 156 sgk Đại số với Giải tích 11

Viết phương trình tiếp con đường của mặt đường hypebol (y = frac1x):

a) trên điểm (( frac12 ; 2))

b) trên điểm tất cả hoành độ bằng (-1);

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -( frac14).

Bài giải:

Bằng khái niệm ta tính được (y’ = – frac1x^2).

a) tại điểm (( frac12 ; 2)):

(y’ left ( frac12 ight )= -4).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bởi (-4).

Vậy phương trình tiếp con đường của hypebol tại điểm (( frac12 ; 2)) là (y – 2 = -4(x – frac12)) hay (y = -4x + 4).

b) tại điểm gồm hoành độ bởi (-1):

(y’ (-1) = -1).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bởi (-1).

Ta lại sở hữu (y(-1) = -1).

Vậy phương trình tiếp đường tại điểm bao gồm tọa độ là (-1) là (y – (-1) = -) xuất xắc (y = -x – 2).

c) Biết thông số góc của tiếp tuyến bằng -( frac14):

Gọi (x_0) là hoành độ tiếp điểm.

Ta tất cả (y’ (x_0) = – frac14 Leftrightarrow – frac1x_0^2 = – frac14)(Leftrightarrow x_0^2 = 4 Leftrightarrow x_0= ±2).

Với (x_0= 2) ta gồm (y(2) = frac12), phương trình tiếp tuyến đường là (y – frac12 = – frac14(x – 2)) hay (y = -frac14x + 1).

Với (x_0 = -2) ta gồm (y (-2) = – frac12), phương trình tiếp đường là (y – left ( -frac12 ight ) = – frac14) giỏi (y = – frac14x -1).

7. Giải bài bác 7 trang 157 sgk Đại số với Giải tích 11

Một thứ rơi tự do theo phương trình (s = 1 over 2gt^2) , trong số đó (g ≈ 9,8) m/s2 là vận tốc trọng trường.

a) Tìm tốc độ trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) mang đến (t + ∆t), trong những trường vừa lòng (∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s).

b) Tìm vận tốc tức thời của hoạt động tại thời điểm (t = 5s)

Bài giải:

a) vận tốc trung bình của vận động trong khoảng thời hạn từ (t) cho (t + ∆t) là:

(V_tb= fracsleft ( t+Delta t ight )-sleft ( t ight )Delta t= fracfrac12gcdot left ( t+Delta t ight )^2-frac12gcdot t^2Delta t =1 over 2g(2t + Delta t) approx 4,9.(2t + Delta t))

Với ( t=5) và:

(∆t = 0,1) thì (v_tb≈ 4,9. (10 + 0,1) ≈ 49,49 m/s);

(∆t = 0,05) thì (v_tb≈ 4,9. (10 + 0,05) ≈ 49,245 m/s);

(∆t = 0,001) thì (v_tb ≈ 4,9. (10 + 0,001) ≈ 49,005 m/s).

Xem thêm: Nêu Những Điều Kiện Bên Ngoài Ảnh Hưởng Đến Quang Hợp Của Cây ?

b) tốc độ tức thời của hoạt động tại thời khắc (t = 5s) khớp ứng với (∆t = 0)

Vậy (v ≈ 4,9 . 10 = 49 m/s).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài giỏi cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 11 cùng với giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 trang 156 157 sgk Đại số cùng Giải tích 11!