Решить уровнение cos7x + sin8x = cos3x

     

Câu trả lời được chuẩn xác chứa thông tin đúng đắn và đáng tin cậy, được xác nhận hoặc trả lời bởi các chuyên gia, giáo viên hàng đầu của chúng tôi.


*

+)

$cos x - cos2x = sin3x$

$cos x - 2cos²x + 1 = sin(x + 2x)$

$⇔ -(cos x - 1)(2cos x + 1) = sin x.cos2x + cos x.sin2x$

$⇔ -(cos x - 1)(2cos x + 1) = sin x.(2cos²x - 1) + 2.sin x .cos²x$

$⇔ -(cos x - 1)(2cos x + 1) = sin x.(2cos²x - 1 + 2cos²x)$

$⇔ -(cos x - 1)(2cos x + 1) = sin x.(4cos²x - 1)$

$⇔ -(cos x - 1)(2cos x + 1) = sin x(2cos x - 1)(2cos x + 1)$

$⇔(2cos x+1)=0$

$Leftrightarrowleft<eginarrayI2cos x+1=0 ext (1)\sin x(2cos x-1)+(cos x-1)=0 ext (2)endarray ight.$

(1) $Leftrightarrow cos x=-dfrac12Leftrightarrow x=pmdfrac2pi3+k2pi$ $(kinmathbb Z)$

(2) $Leftrightarrow 2sin xcos x-sin x+cos x-1=0$

$Leftrightarrow -(sin x-cos x)^2-(sin x-cos x)=0$

$Leftrightarrow (sin x-cos x)(sin x-cos x+1)=0$

$Leftrightarrowleft<eginarrayIsin x+cos x=0 ext (3)\sin x-cos x=1 ext (4)endarray ight.$

(3) $Leftrightarrowdfrac1sqrt2sinleft(x+dfracpi4 ight)=0$

$Leftrightarrow x+dfracpi4=kpiLeftrightarrow x=-dfracpi4+kpi$ $(kinmathbb Z)$

(4) $Leftrightarrowdfrac1sqrt2sinleft(x-dfracpi4 ight)=1$

$Leftrightarrow sinleft(x-dfracpi4 ight)=sqrt2>1$ (loại)

Vậy phương trình tất cả nghiệm $x=pmdfrac2pi3+k2pi$

và $x=-dfracpi4+kpi$ $(kinmathbb Z)$

+)

$cos7x + sin8x = cos3x - sin2x$$Leftrightarrow -2sin5xsin2x + 2sin5xcos3x=0 $$Leftrightarrow -2sin5x ( sin2x-cos3x)=0 $$Leftrightarrow sin 5x = 0$ (1)hoặc $sin2x-cos3x=0$ (2)(1) $Leftrightarrow 5x = kpi Leftrightarrow x= kdfracpi5$ $(kinmathbb Z)$(2) $Leftrightarrow sin 2x = cos3x$$Leftrightarrow sin2x = sinleft(dfracpi2 - 3x ight)$

$Leftrightarrow 2x=dfracpi2 - 3x+k2piLeftrightarrow x=dfracpi10+kdfrac2pi5$

Hoặc $2x=pi-dfracpi2 + 3x+k2piLeftrightarrow x=-dfracpi2+k2pi$ $(kinmathbb Z)$

Vậy phương trình gồm nghiệm $x= kdfracpi5$; $x=dfracpi10+kdfrac2pi5$;

$x=-dfracpi2+k2pi$ $(kinmathbb Z)$

+

$sin x + sin2x + sin3x = cos x + cos2x + cos3x$$Leftrightarrowsin3x + sin x + sin2x = cos3x + cos x + cos2x$$Leftrightarrow2sin2xcos x + sin2x = 2cos2xcos x + cos2x$$Leftrightarrowsin 2x(2cos x + 1) = cos 2x(2cos x + 1)$$Leftrightarrow(sin2x - cos2x)(2cos x + 1) = 0$$Leftrightarrow sin2x-cos2x=0Leftrightarrow dfrac1sqrt2sinleft(2x+dfracpi4 ight)=0$

$Leftrightarrow 2x+dfracpi4=kpiLeftrightarrow x=-dfracpi8+kdfracpi2$ $(kinmathbb Z)$Hoặc $2cos x+1=0$

$Leftrightarrow cos x=-dfrac12Leftrightarrow x= pmdfrac2pi3+k2pi$ $(kinmathbb Z)$

Vậy phương trình tất cả nghiệm $ x=-dfracpi8+kdfracpi2$ cùng $ x= pmdfrac2pi3+k2pi$ $(kinmathbb Z)$