GIẢI BÀI TẬP TOÁN 11 TRANG 168

     

Hướng dẫn giải bài bác §3. Đạo hàm của hàm số lượng giác, Chương V. Đạo hàm, sách giáo khoa Đại số cùng Giải tích 11. Nội dung bài xích giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số và Giải tích 11 bao hàm tổng hòa hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài bác tập đại số và giải tích bao gồm trong SGK sẽ giúp đỡ các em học viên học tốt môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 168


Lý thuyết

1. Đạo hàm của hàm số $y = sinx$

Hàm số (y=sin x) bao gồm đạo hàm tại phần đa (x in mathbbR) và (left( sin x ight)’ = cos x.)

Nếu (y=sin u) cùng (u=u(x)) thì ((sin u)’=u’. cos u.)

2. Đạo hàm của hàm số $y = cosx$

Hàm số (y=cos x) có đạo hàm tại phần đa (x in mathbbR) cùng (left( cos x ight)’ =-sin x.)

Nếu (y=cos u) với (u=u(x)) thì ((cos u)’=-u’. sin u.)

3. Đạo hàm của hàm số $y = tanx$

Hàm số (y= an x) có đạo hàm tại đa số (x e fracpi 2 + kpi ,k in mathbbR) cùng (left( an x ight)’ = frac1cos ^2x.)

Nếu (y=tan u) cùng (u=u(x)) thì (left( an u ight)’ = fracu’cos ^2u.)

4. Đạo hàm của hàm số $y = cotx$

Hàm số (y=cot x) gồm đạo hàm tại mọi (x e kpi ,k in mathbbR) với (left( cot x ight)’ = – frac1sin ^2x.)

Nếu (y=cot u) cùng (u=u(x)) thì (left( cot x ight)’ = – fracu’sin ^2u).

Bảng đạo hàm:


*

Dưới đấy là phần phía dẫn trả lời các câu hỏi và bài bác tập vào phần hoạt động vui chơi của học sinh sgk Đại số cùng Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11


Tính (sin 0,01 over 0,01;,,sin ,0,001 over 0,001) bằng laptop bỏ túi.

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& sin 0,01 over 0,01 approx 0,999983 cr& sin ,0,001 over 0,001 approx 0,99999983 cr )

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 165 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số: (y = sin (pi over 2 – x))

Trả lời:

$y’ = (sin⁡ (pi over 2 – x) )’$


Đặt $u = pi over 2 – x$ thì $u’ = -1$

⇒ $y’ = u’ cos⁡u = -1 cos⁡(pi over 2 – x) = -sin⁡x$

(do $cos⁡(pi over 2 – x) = sin⁡x$ ).

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 166 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số:

(f(x) = sin ,x over cos ,x,(x e pi over 2 + kpi ;,k in Z))

Trả lời:


Ta có:

(eqalign& f"(x) = (sin ,x over cos ,x) ‘= (sin ,x)’cos ,x – sin ,x.(cos ,x)’ over cos ,^2x cr& = cos ,^2x + sin ^2x over cos ,^2x = 1 over cos ,^2x cr )

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 167 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số:

$y = tan (pi over 2 – x)$ cùng với $x ≠ kπ, k ∈ Z$

Trả lời:

Đặt $u = pi over 2 – x$ thì $u’ = -1$


⇒ $y’ = u’ over cos ^2u = – 1 over cos ^2u $

$= – 1 over cos ^2(pi over 2 – x) = – 1 over sin ^2x$

(do $cos⁡(pi over 2 – x) = sin⁡x$)

Dưới đó là phần giải đáp giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số và Giải tích 11. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

bibun.vn giới thiệu với các bạn đầy đủ phương thức giải bài xích tập đại số với giải tích 11 kèm bài xích giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11 của bài §3. Đạo hàm của hàm số lượng giác vào Chương V. Đạo hàm cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài tập chúng ta xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 168 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tìm đạo hàm của những hàm số sau:


a) (y = fracx-15x-2)

b) (y = frac2x+37-3x)

c) (y = fracx^2+2x+33-4x)

d) (y = fracx^2+7x+3x^2-3x)

Bài giải:

a) (y = fracx-15x-2)

( y’=fracleft ( x-1 ight )’.left ( 5x-2 ight )-left ( x-1 ight ).left ( 5x-2 ight )’left ( 5x-2 ight )^2)

(y’ =frac(5x-2)-left ( x-1 ight ).5left ( 5x-2 ight )^2)

(y’ =frac3left ( 5x-2 ight )^2).

b) (y = frac2x+37-3x)

( y’=fracleft ( 2x+3 ight )’.left ( 7-3x ight )-left ( 2x+3 ight ).left ( 7-3x ight )’left ( 7-3x ight )^2)

(y’= frac2left ( 7-3x ight )-left ( 2x+3 ight ).left ( -3 ight )left ( 7-3x ight )^2)

(y’= frac23left ( 7-3x ight )^2).

c) (y = fracx^2+2x+33-4x)

( y’=fracleft ( x^2+2x+3 ight )’.left ( 3-4x ight )-left ( x^2 +2x+3 ight ).left ( 3-4x ight )’left ( 3-4x ight )^2)

(y’= fracleft ( 2x+2 ight ).left ( 3-4x ight )-left ( x^2+2x+3 ight ).(-4)(3-4x)^2)

(y’ =frac-2(2x^2-3x-9)(3-4x)^2).

d) (y = fracx^2+7x+3x^2-3x)

( y’=frac(x^2+7x+3)’.(x^2-3x)-(x^2+7x+3).(x^2-3x)’(x^2-3x)^2)

(y’ =frac(2x-7).(x^2-3x)-(x^2+7x+3).(2x-3)(x^2-3x)^2)

(y’=frac-10x^2-6x+9(x^2-3x)^2).

2. Giải bài bác 2 trang 168 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải các bất phương trình sau:

a) (y"0) cùng với (y = frac2x-1x^2+x+4)

Bài giải:

a) (y"x le – 3 hfill cr} ight. hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left< matrixx ge 1 hfill cr x le – 3 hfill cr ight.)

(Rightarrow x∈ (-∞;-3> ∪ <1;+∞))

Vậy (x∈ (-∞;-3> ∪ <1;+∞))

c) (y’>0) với (y = frac2x-1x^2+x+4)

Ta tất cả (y’=frac(2x-1)’.(x^2+x+4)-(2x-1).(x^2+x+4)’(x^2+x+4)=frac-2x^2+2x+9(x^2+x+4)).

Vì (x^2+x +4 =left ( x+frac12 ight )^2+ frac154 >0), cùng với (∀ x ∈ mathbb R)

(Rightarrow y’>0 Leftrightarrow frac-2x^2+2x+9(x^2+x+4) >0)

(Leftrightarrow -2x^2+2x +9>0 )

(Leftrightarrow frac1-sqrt192

3. Giải bài 3 trang 169 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm đạo hàm của những hàm số sau:

a) (y = 5sinx -3cosx)

b) ( y=fracsinx+cosxsinx-cosx)

c) (y = x cotx)

d) (y = fracsinxx+fracxsinx)

e) (y = sqrt(1 +2tan x))

f) (y = sinsqrt(1 +x^2))

Bài giải:

a) (y = 5sinx -3cosx)

(y’=5cosx-3(-sinx)=5cosx+3sinx)

b) ( y=fracsinx+cosxsinx-cosx)

(y’=(sinx+cos x)’.(sin x- cos x)-(sin x+cos x)(sin x-cos x)’over(sin x-cos x)^2)

(y’= (cos x-sin x)(sin x -cos x)-(sin x+ cos x)(cosx+sinx)over(sin x-cosx )^2)

(y’ =-2over(sin x-cos x)^2)

c) (y = x cotx)

(y’ = cotx +x. left ( -frac1sin^2x ight )= cotx – fracxsin^2x).

d) (y = fracsinxx+ fracxsinx)

( y’=frac(sin x)’.x-sin x.(x)’x^2+frac(x)’.sin x-x(sin x)’sin^2x)

(y’= fracx.cosx-sinxx^2+fracsin x-x.cosxsin^2x)

(y’= fracx.cosx-sinxx^2-fracx.cosx-sin xsin^2x)

(y’ = (x. Cosx -sinx) left ( frac1x^2-frac1sin^2x ight )).

e) (y = sqrt(1 +2tan x))

( y’=frac(1+2tanx)’2sqrt1+2tanx)

(y’= fracfrac2cos^2x2sqrt1+2tanx)

(y’=frac1cos^2xsqrt1+2tanx).

Xem thêm: Cách Làm Món Da Heo Chiên Giòn Cực Ngon Cho Cả Nhà, Cách Làm Món Da Heo Chiên Giòn Làm Mưa Làm Gió

f) (y = sinsqrt(1 +x^2))

(y’ = (sqrt1+x^2)’ cossqrt(1+x^2) )

(y’= frac(1+x^2)’2sqrt1+x^2cossqrt(1+x^2) )

(y’= frac2x2sqrt1+x^2cossqrt(1+x^2) )

(y’= fracxsqrt1+x^2cossqrt(1+x^2))

4. Giải bài 4 trang 169 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của những hàm số sau:

a) (y = left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1))

b) (y = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3))

c) (y = (x -2)sqrt(x^2+1))

d) (y = tan^2x +cotx^2)

e) (y = cosfracx1+x)

Bài giải:

a) (y = left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1))

(y’ = left( 9 – 2x ight)"(2x^3 – 9x^2 + 1) + left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1)’)

(y’= – 2(2x^3 – 9x^2 + 1) + left( 9 – 2x ight)(6x^2 – 18x) )

(y’=-4x^3+18x^2-2+54x^2-162x-12x^3+36x^2)

(y’= – 16x^3 + 108x^2 – 162x – 2).

b) (y = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3))

(y’ = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )’.(7x -3) +left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3)’)

(y’= left ( frac3sqrtx +frac2x^3 ight )(7x -3) +7 left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight ))

(y’=63sqrtx-frac9sqrtx+frac7x^2-frac6x^3)

c) (y = (x -2)sqrt(x^2+1))

(y’ = (x -2)’sqrt(x^2+1) + (x -2)sqrt (x^2+1)’ )

(y’= sqrt (x^2+1) + (x -2)fracleft ( x^2+1 ight )’2sqrtx^2+1)

(y’= sqrt (x^2+1) + (x -2) frac2x2sqrtx^2+1)

(y’ = sqrt (x^2+1) + fracx^2-2xsqrtx^2+1)

(y’= frac2x^2-2x+1sqrtx^2+1).

d) (y = tan^2x +cotx^2)

(y’ = 2tanx.(tanx)’ – (x^2)’ left ( -frac1sin^2x^2 ight )= frac2tanxcos^2x+frac2xsin^2x^2)

e) (y = cosfracx1+x)

(y’ = left ( frac11+x ight )’sin fracx1+x= -frac1(1+x)^2sin fracx1+x).

5. Giải bài 5 trang 169 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính ( fracf"(1)varphi ‘(1)), biết rằng (f(x) = x^2) và (φ(x) = 4x +sin fracpi x2)

Bài giải:

Ta có:

(f"(x) = 2xRightarrow f"(1) = 2)

(φ"(x) = 4 + left ( fracpi x2 ight )’. Cos fracpi x2 = 4 + fracpi 2. Cos fracpi x2)

(Rightarrow φ"(1) = 4).

(Rightarrow fracf"(1)varphi ‘(1) = frac24= frac12)

6. Giải bài xích 6 trang 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Chứng minh rằng những hàm số sau bao gồm đạo hàm không nhờ vào (x):

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x)

b) (cos ^2left ( fracpi 3-x ight )+ cos ^2 left ( fracpi 3+x ight ) + cos ^2left ( frac2pi 3-x ight )+cos ^2 left ( frac2pi 3+x ight )-2sin^2x)

Bài giải:

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x)

Ta có:

((3sin^2x.cos^2x)’=3.(sin^2x)’.cos^2x+3.sin^2x(cos^2x)’)

(=3.cos^2x.2.sin x (sin x)’+3.sin^2x.2.cos x.(cosx)’)

(=6.cos^2x.sin x.cos x+6.sin^2x.cos x.(-sin x))

(=6.cos^3x.sin x-6.sin^3x.cos x)

(y’ = 6sin ^5x.cos x – 6cos ^5x.sin x + 6sin x.cos^3x – 6sin ^3x.cos x)

(= 6sin ^3x.cos x(sin^2 x – 1) + 6sin x.cos^3 x(1 – cos ^2x))

(= 6sin ^3x.cos x.cos^2x + 6sin x.cos^3 x.sin^2x)

(= – 6sin ^3x.cos^3 x + 6sin ^3x.cos^3 x = 0).

Vậy (y’ = 0)với hầu như (x),tức là (y’) không phụ thuộc vào (x).

b) (cos ^2left ( fracpi 3-x ight )+ cos ^2 left ( fracpi 3+x ight ) + cos ^2left ( frac2pi 3-x ight )+cos ^2 left ( frac2pi 3+x ight )-2sin^2x)

(y’ = 2cos left ( fracpi 3-x ight ).sin left ( fracpi 3-x ight ))

( -2cos left ( fracpi 3+x ight ).sin left ( fracpi 3+x ight ))

( +2cos left ( frac2 pi 3-x ight ).sin left ( frac2 pi 3-x ight ))

( -2cos left ( frac2 pi 3+x ight ).sin left ( frac2 pi 3+x ight )-4sin,xcos,x)

Áp dụng phương pháp tính đạo hàm của hàm số đúng theo ta được

(y’ =sin left ( frac2pi 3-2x ight ) – sin left ( frac2pi 3+2x ight )+ sin left ( frac4pi 3-2x ight ) – sin left ( frac4pi 3+2x ight )- 2sin 2x )

(= -2cos frac2pi 3.sin,2x – 2cos frac4pi 3. sin 2x – 2sin 2x )

(= sin 2x + sin 2x – 2sin 2x )

(=sin,2x(1+1-2)=0)

Vậy (y’ = 0) với đa số (x), vì thế (y’) không dựa vào vào (x).

7. Giải bài xích 7 trang 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Giải phương trình (f"(x) = 0), biết rằng:

a) (f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x)

b) (f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos left ( frac2pi +x2 ight ))

Bài giải:

a) (f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x)

(f"(x) = – 3sin x + 4cos x + 5).

(Rightarrow f"(x) = 0 Leftrightarrow – 3sin x + 4cos x + 5 = 0)

(Leftrightarrow3 sin x – 4cos x = 5)

(Leftrightarrow frac35sin x – frac45 cos x = 1).(*)

Đặt (cos alpha = frac35,left(alpha ∈ left ( 0;fracpi 2 ight ) ight ) Rightarrow sin alpha = frac45)

Ta có:

(*)(Leftrightarrow sin x.cos alpha – cos x.sin alpha = 1)

(Leftrightarrow sin(x – alpha ) = 1)

(Leftrightarrow x – alpha = fracpi 2 + k2π)

(Leftrightarrow x = alpha + fracpi 2 + k2π, k ∈ mathbb Z).

Vậy (x = alpha + fracpi 2 + k2π, k ∈ mathbb Z)

b) (f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos left ( frac2pi +x2 ight ))

(f"(x) = – cos(π + x) – sin left (pi + fracx2 ight ) = cos x + sin fracx 2)

(f"(x) = 0 Leftrightarrow cos x + sin fracx 2 = 0 )

(Leftrightarrow sin fracx 2 = – cosx)

(Leftrightarrow sin fracx 2 = sin left (x-fracpi2 ight ))

(Leftrightarrow left< matrixfracx 2= x-fracpi2+ k2π hfill cr fracx 2 = π – x+fracpi2+ k2π hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left< matrixx = π – k4π hfill cr x = π + k frac4pi 3 hfill cr ight.(k ∈ mathbb Z))

Vậy (x = π – k4π)hoặc (x = π + k frac4pi 3(k ∈ mathbb Z))

8. Giải bài 8 trang 169 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải bất phương trình (f"(x) > g"(x)), biết rằng:

a) (f(x) = x^3+ x – sqrt2,g(x) = 3x^2+ x + sqrt2)

b) (f(x) = 2x^3- x^2+ sqrt3,g(x) = x^3+ fracx^22 – sqrt 3)

Bài giải:

a) (f(x) = x^3+ x – sqrt2,g(x) = 3x^2+ x + sqrt2)

Ta có (f"(x) = 3x^2+ 1), (g"(x) = 6x + 1).

(Rightarrow f"(x) > g"(x) )

(Rightarrow 3x^2+ 1 > 6x + 1 )

(Leftrightarrow 3x^2- 6x >0)

(Leftrightarrow 3x(x – 2) > 0 )

(Leftrightarrow x > 2)hoặc (x > 0)

Vậy (x ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)).

Xem thêm: Phương Pháp, Cách Cân Bằng Phương Trình Hóa Học Bang Electron

b) (f(x) = 2x^3- x^2+ sqrt3,g(x) = x^3+ fracx^22 – sqrt 3)

Ta có (f"(x) = 6x^2- 2x), (g"(x) = 3x^2+ x).

(Rightarrow f"(x) > g"(x))

(Leftrightarrow 6x^2- 2x > 3x^2+ x )

(Leftrightarrow 3x^2- 3x > 0)

(Leftrightarrow 3x(x – 1) > 0 )

(Leftrightarrow x > 1)hoặc (x

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài giỏi cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 11 cùng với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số và Giải tích 11!