NGUYÊN HÀM CỦA 1/COSX

     

Ta thấy ở nhì ví dụ trên đều có . Ta điện thoại tư vấn là một trong nguyên hàm của . Bởi vì với $C$ là một trong hằng số bất kỳ, ta có đề xuất nếu là nguyên hàm của thì cũng là 1 trong nguyên hàm của . Ta điện thoại tư vấn Họ nguyên hàm của .

Bạn đang xem: Nguyên hàm của 1/cosx

Ký hiệu:

VD: .

b) Tính chất

, $k$ là hằng số

dx=intfleft( x ight)dx+intgleft( x ight)dx>

dx=intfleft( x ight)dx-intgleft( x ight)dx>

2. Bảng nguyên hàm của một trong những hàm số thường gặp

*

3. Những phương pháp

Phương pháp 1. Áp dụng bí quyết nguyên hàm cơ bản

Ví dụ 1. Tìm những nguyên hàm:

• x$I=intx^8dx=frac19x^9+C$

.• $I=intfracdxx^5=intx^-5dx=frac1-5+1x^-5+1+C=-frac14x^-4+C$

•$I=intfracdx2x=frac12int+C$

• $I=int an 2xdx=intfracsin 2xcos 2xdx=-frac12int+C$

• $I=intsin x.cos ^4xdx=-intcos ^4xdleft( cos x ight)=-frac15cos ^5x+C$

• $I=intfracsin x+cos xsin x-cos xdx=intfracdleft( sin x-cos x ight)sin x-cos x=ln left| sin x-cos x ight|+C$

• $I=intfrace^xdxe^x+1=intfracdleft( e^x+1 ight)e^x+1=ln left| e^x+1 ight|+C$

Phương pháp 2. Cách thức đổi biến

a) những dạng đổi thay đổi số hay gặp

*

*

b) Ví dụ

• $I=intsqrtx^2004+1.x^2003dx$

Đặt $t=x^2004+1Rightarrow dt=2004x^2003dxRightarrow x^2003dx=frac12004dt$. Từ kia ta được:

$I=frac12004intsqrttdt=frac12004intt^frac12dt=frac12004.frac23t^frac32+C$

$=frac13006sqrtt^3+C=frac13006sqrtleft( x^2004+1 ight)^3+C$

• $I=intx^2left( 1-x ight)^10dx$

Đặt $1-x=tRightarrow dx=-dt$. Từ đó ta được:

$O=intleft( 1-t ight)^2t^10left( -dt ight)=-intleft( 1-2t+t^2 ight).t^10dt=-intt^10dt+2intt^11dt-intt^12dt$

$,,,,,=-frac111t^11+frac16t^12-frac113t^13+C=-frac111left( 1-x ight)^11+frac16left( 1-x ight)^12-frac113left( 1-x ight)^13+C$

• $I=intfracsin x.cos ^3x1+cos ^2xdx=frac12intfrac2sin xcos x.cos ^2x1+cos ^2xdx=frac12intfraccos ^2x1+cos ^2x.sin 2xdx$

Đặt $1+cos ^2x=tRightarrow sin 2xdx=-dt$

$Rightarrow S=frac12fract-1tleft( -dt ight)=-frac12int+C$

Phương pháp 3. Cách thức nguyên hàm từng phần

a) văn bản phương pháp

Phương pháp này thường xuyên được thực hiện khi ta buộc phải tính nguyên hàm của một tích. Trả sử buộc phải tính $I=intf_1left( x ight).f_2left( x ight)dx$, ta có tác dụng như sau:

*

b) Chú ý

Thứ tự ưu tiên để $u$ trong cách thức Nguyên hàm từng phần:

Lôgarít $ o $ Đa thức $ o $ các chất giác $ o $ Hàm mũ

c) Ví dụ

•$I=intx extsin2xdx$

*

$Rightarrow I=-frac12xcos 2x+frac12intcos 2xdx=-frac12xcos 2x+frac14sin 2x+C$

•$I=intxcos ^22xdx=intx.frac1+cos 4x2dx=frac12intxdx+intfrac12xcos 4xdx=frac14x^2+I_1$

Tính $I_1=intfrac12xcos 4xdx$.

*

$Rightarrow I_1=frac18xsin 4x-frac18intsin 4xdx=frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$

Từ đó: $I=frac14x^2+frac18xsin 4x+frac132cos 4x+C$

•$I=intfracxln left( x+sqrtx^2+1 ight)sqrtx^2+1dx$

*

Ta được $I=sqrtx^2+1ln left( x+sqrtx^2+1 ight)-x+C$

•$I=intln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)dx$

*
$Rightarrow I=x.ln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2intln left( x+sqrtx^2+1 ight).fracxdxsqrtx^2+1$

$=xln ^2left( x+sqrtx^2+1 ight)-2sqrtx^2+1.ln left( x+sqrtx^2+1 ight)+2x+C$

•$I=intleft( fracln xx ight)^2dx$. Ta gồm $I=intfracln ^2xx^2dx$.

*

Ta được $I=-frac1xln x-frac1x+C$

Phương pháp 4. Phối hợp đổi biến hóa số và cách thức nguyên hàm từng phần

•$I=intsin sqrtxdx$

Đặt $sqrtx=tRightarrow x=t^2Rightarrow dx=2tdtRightarrow I=intsin t.left( 2tdt ight)=int2tsin tdt$

*

Vậy $I=2sin sqrtx-2sqrtxcos sqrtx+C$

•$I=intsin left( ln x ight)dx$.

*

Từ kia $I=inte^tsin tdt=fracxleft< sin left( ln x ight)-cos left( ln x ight) ight>2+C$

•$I=intx^8e^x^3dx$.

*
 

Từ đó $I=frac13intt^2e^tdt=frac13left( x^6-2x^3+2 ight)e^x^3+C$

•$I=inte^sqrtxdx$.

*

Phương pháp 5. Kiếm tìm nguyên hàm bằng cách thức dùng nguyên hàm phụ

Giả sử nên tính $I=intfleft( x ight)dx$. Khi đó ta tìm nguyên hàm phụ $J=intgleft( x ight)dx$ thế nào cho việc tính $I+J$ với $I-J$ đơn giản hơn. Chẳng hạn:

• $I=intfracsin xsin x+cos xdx$

Ta rất có thể xét $J=intfraccos xsin x+cos xdx$

Khi đó:

$I+J=intfracsin x+cos xsin x+cos xdx=intdx=x+C$

$I-J=intfracsin x-cos xsin x+cos xdx=-intfracdleft( sin x+cos x ight)sin x+cos x=-ln left| sin x+cos x ight|+C$

Từ đó suy ra: $2I=x-ln left| sin x+cos x ight|+CRightarrow I=frac12left( x-ln left| sin x+cos x ight| ight)+C$

• $I=intfrac4sin xleft( sin x+cos x ight)^3dx$

Ta hoàn toàn có thể xét $J=intfrac4cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx$

Khi đó:

$I+J=4intfracsin x+cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=4intfracdxleft( sin x+cos x ight)^2=4intfracdxleft< sqrt2sin left( x+fracpi 4 ight) ight>^2$

$=2intfracdleft( x+fracpi 4 ight)sin ^2left( x+fracpi 4 ight)=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+C$

$I-J=4intfracsin x-cos xleft( sin x+cos x ight)^3dx=-4intfracdleft( sin x+cos x ight)left( sin x+cos x ight)^3=2left( sin x+cos x ight)^-2+C$

Từ kia suy ra:

$2I=-2cot left( x+fracpi 4 ight)+2left( sin x+cos x ight)^-2+CRightarrow I=frac1left( sin x+cos x ight)^2-cot left( x+fracpi 4 ight)+C$

B. Bài tập từ bỏ luyện

Câu 1: Tìm $int(x^3-2x)dx$

A.  <3x^2-2+C> B.

C.   D.

Câu 2: Tìm $int(sin x+cos 3x),dx$

A. B.

C. <-cos x-frac13sin 3x+C> D. <-cos x+frac13sin 3x+C>

Câu 3: Tìm $intleft( 5e^3x-frac16x+7 ight),dx$

A. B. <5e^3x-ln left| 6x+7 ight|+C>

C.

Xem thêm: Bài 38 Địa Lý 10 - Lý Thuyết Địa Lí 10: Bài 38

D. <5e^3x-frac16ln left| 6x+7 ight|+C>

Câu 4: Tìm $intsqrtxdx$

A. B.  <-frac12sqrtx+C>

C. $frac32xsqrtx+C$ D.  

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=sin ^2x$

A. $intf(x)dx=frac12x+frac14sin ,2x+C$ B.  

C. D.  

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=cos x.cos 3x$

A. $intf(x)dx=-frac18sin ,4x-frac14sin ,2x+C$ B.  

C. D.  

Câu 7: Cho . Đặt t=2sinx+1, lúc ấy

A.   B.

C. D.  

Câu 8: Tìm $int(x+1)e^x^2+2xdx$

A. <2(x+1)e^x^2+2x+C> B.  

C. D.  

Câu 9: Khẳng định nào dưới đây sai ?

A. B.  dx=intf(x)dx+intg(x)dx>

C. D.  dx=intf(x)dx+intg(x)dx>

Câu 10: Khẳng định nào tiếp sau đây đúng?

A. B.  dx=intf(x)dxpm intg(x)dx>

C.  D.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=frac3cos ^2(2x-1)$

A.   B. <3 an (2x-1)+C>

C.  <-3 an (2x-1)+C> D. <-frac32cot (2x-1)+C>

Câu 12: $int2e^xleft( e^x-1 ight)^4dx=fracmn(e^x-1)^k+C$. Khi đó

A.

Xem thêm: Top 10 Bài Văn Kể Về Bữa Cơm Sum Họp Gia Đình Em Vào Buổi Tối

m + n + k = 5 B. m + n + k = 7

C.  m + n + k =12 D.  m + n + k = 16

Câu 13: $intxsin 2xdx=fracm2xcos 2x+fracsin 2xn+C$. Khi đó

A. 2m + n = 0 B. 2m + n = 2 C.  2m + n =6 D.  2m + n = 8

Câu 14: $intleft( x+3 ight)e^-2xdx=frac-1me^-2x(2x+n)+C$. Lúc ấy