Thể Tích Hình Tứ Diện

     

Bài viết này bibun.vn tổng vừa lòng và reviews lại một trong những công thức tính cấp tốc thể tích của khối tứ diện cho một số trường hợp đặc biệt quan trọng hay gặp

https://www.bibun.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Đồng thời trình diễn công thức bao quát tính thể tích cho khối tứ diện bất kì khi biết độ dài toàn bộ 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi nhớ những công thức này giúp các em giải quyết nhanh một số dạng bài bác khó về thể tích khối tứ diện vào đề thi THPT non sông 2019 - Môn Toán.

Bạn đang xem: Thể tích hình tứ diện

Bài viết này trích lược một số công thức cấp tốc hay cần sử dụng cho khối tứ diện. Những công thức nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện với thể tích khối lăng trụ bạn đọc tìm hiểu thêm khoá full bộ X bởi bibun.vn xuất bản tại đây:https://www.bibun.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ bao gồm $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta bao gồm công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: trong đó <eginalign và M=a^2d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2) \ và N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2) \ & P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2) \ & Q=(abc)^2+(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2 \ endalign>

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện phần nhiều cạnh $a,$ ta có $V=dfraca^3sqrt212.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều phải sở hữu chiều cao bằng . Thể tích của khối tứ diện đã đến là

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải.Thể tích tứ diện gần như cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$

Chiều cao tứ diện những là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$

Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn câu trả lời B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ tất cả $AB,AC,AD$ song một vuông góc với $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta có $V=dfrac16abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần phần nhiều (các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta có

*

Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã cho bằng

A. $fracsqrt303.$

B. $frac20sqrt113.$

C. $sqrt30.$

D. $20sqrt11.$

Giải. Ta có $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn lời giải B.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=8,AD=BC=5$ với $AC=BD=7.$ điện thoại tư vấn $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng biện pháp từ điểm $A$ cho mặt phẳng $(CMD)$bằng

A. $fracsqrt312.$

B. $fracsqrt552.$

C. $fracsqrt212.$

D. $fracsqrt332.$

Giải. Ta bao gồm $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$

Tam giác $MCD$ bao gồm $CD=8$ cùng theo công thức đường trung đường ta có:

$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$

và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$

Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ cho nên vì vậy $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ hoàn toàn có thể tích bằng

A. $sqrt95a^3.$

B. $8sqrt95a^3.$

C. $2sqrt95a^3.$

D. $4sqrt95a^3.$

Giải.Áp dụng phương pháp tính thể tích khối tứ diện gần đa số có

$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$

Chọn lời giải C.

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ gồm $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta gồm $V=dfrac16abdsin alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=AC=BD=CD=1.$ khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn số 1 thì khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng $AD$ cùng $BC$ bằng
A. $frac2sqrt3.$ B. $frac1sqrt3.$ C. $frac1sqrt2.$ D. $frac13.$

Ví dụ 2:Cho hai mặt cầu $(S_1),(S_2)$ gồm cùng trung tâm $I$ và bán kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ có hai đỉnh $A,B$ nằm trên $(S_1);$ hai đỉnh $C,D$ nằm tại $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng

A. $3sqrt2.$

B. $2sqrt3.$

C. $6sqrt3.$

D. $6sqrt2.$

Giải.Gọi $a,b$ theo lần lượt là khoảng cách từ trọng tâm $I$ đến hai tuyến phố thẳng $AB,CD.$

Ta tất cả $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ với $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ cùng $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng tầm cách chéo cánh nhau của cặp cạnh đối lập có:

$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $

Dấu bằng đạt trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn lời giải D.

Ví dụ 3:Cho một hình trụ gồm thiết diện qua trục là một hình vuông vắn cạnh bằng $a.$ biết rằng $AB$ và $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của nhị đáy với góc giữa hai đường thẳng $AB$ với $CD$ bởi $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $fraca^312.$

B. $fraca^3sqrt36.$

C. $fraca^36.$

D. $fraca^3sqrt312.$

Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn đáp án C.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích hai mặt kề nhau

*

Ví dụ 1: đến khối chóp $S.ABC$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ với $(SAC)$ bởi $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã mang đến bằng

A. $a^3.$

B.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Bỏ Tab Trong Word 2007, Xóa Hoặc Loại Bỏ Điểm Dừng Tab Trong Word

$fraca^33.$

C. $fraca^32.$

D. $fraca^36.$

Lời giải chi tiết. call $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta có $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết phù hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

*
Đặt $h=SHRightarrow V_S.ABC=frac13S_ABC.SH=fraca^2h6(1).$

Mặt không giống $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$

Từ (1) và (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn giải đáp D.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ có $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $fraca^33.$

B. $a^3.$

C. $frac2a^33.$

D. $3a^3.$

Lời giải bỏ ra tiết. hotline $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$

*

Ta gồm $left{ egingathered CB ot cha hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ tương tự như $left{ egingathered CD ot domain authority hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$

Kết phù hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$

Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$

Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$

Kết hòa hợp (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ ở kề bên $SA$ vuông góc với đáy với góc giữa hai phương diện phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng $60^0,$ lúc ấy $SA$ bằng

A. $dfracsqrt6a4.$

B. $sqrt6a.$

C. $dfracsqrt6a2.$

D. $dfracsqrt3a2.$

Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$

Mặt không giống $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$

Trong đó $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$

Từ (1) và (2) suy ra Chọn giải đáp A.

Ví dụ 4: cho tứ diện $ABCD$ bao gồm $ABC$ và $ABD$ là tam giác đa số cạnh bằng $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn nhất bằng

A. $dfraca^38.$

B. $dfraca^3sqrt212.$

C. $dfraca^3sqrt38.$

D. $dfraca^3sqrt312.$

Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$

Dấu bằng đạt tại $(ABC)ot (ABD).$ Chọn giải đáp A.

Ví dụ 5: Cho lăng trụ $ABC.A"B"C"$ có diện tích s tam giác $A"BC$ bằng $4,$ khoảng cách từ $A$ mang lại $BC$ bằng $3,$ góc giữa hai mặt phẳng $left( A"BC ight)$ và $left( A"B"C" ight)$ bằng $30^circ .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.A"B"C"$ bằng

A. $3sqrt3.$ B.$6.$ C.$2.$ D.$12.$

Giải. Áp dụng bí quyết tính thể tích tứ diện mang đến trường hợp biết góc và ăn mặc tích của hai mặt

$V_ABC.A"B"C"=3V_A".ABC=3left( dfrac2S_A"BC.S_ABC.sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)3BC ight)$

$=dfracS_A"BC.dleft( A,BC ight).BC.sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)BC=S_A"BC.dleft( A,BC ight).sin left( left( A"BC ight),left( ABC ight) ight)=4.3.dfrac12=6.$ Chọn câu trả lời B.

Công thức 6:Mở rộng cho khối chóp có diện tích mặt mặt và mặt đáy

Khối chóp $S.A_1A_2...A_n$ có $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$

Công thức 7: Khối tứ diện khi biết những góc tại cùng một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ bao gồm $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$

Khi kia $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$

*

Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ rất có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải.

Xem thêm: Vẽ Sơ Đồ Tư Duy Khái Quát Văn Học Việt Nam Từ Thế Kỉ 10 Đến Thế Kỉ 19 Ngắn Nhất

Tứ diện này còn có độ dài tất cả các cạnh ta tính các góc trên một đỉnh rồi áp dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa vào 3 góc xuất phát điểm từ cùng 1 đỉnh:

Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$

Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$

Chọn giải đáp B.

*